Caos, Matemáticas y Gobiernos (1 de 3): el azar

Fis. Alfredo Osorio S.

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre

Henri Poincaré

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Un concepto central de la matemática moderna es el concepto de caos. Uno de los más importantes aportadores al conocimiento de esta ciencia fue el matemático francés Jules Henri Poincaré (Nancy, Francia, 29 de abril de 1854 – Paris, 17 de julio de 1912). Poincaré es reconocido como un polímata extraordinario (persona que, sabía, comprendía, mucho de mucho). Uno de esos saberes fue el descubrimiento de lo que ocurre con los sistemas dinámicos. Es, pues, pertinente hablar sucintamente sobre que se entiende por un sistema dinámico: “un sistema dinámico, es un sistema físico que evoluciona con el tiempo”. Por ende, lo que existe en el universo –de una u otra manera evoluciona con el tiempo, y, también de manera sucinta un sistema debe entenderse como “un conjunto de elementos en interacción”. He aquí la importancia de estos sistemas. Por ejemplo, las poblaciones humanas, de bacterias, de cualquier ser vivo, tienen como principal característica su variación en el tiempo, las trayectorias de asteroides, los caminos que siguen las placas continentales, las variaciones de los precios de las “acciones” en la Bolsa, etc., forman parte de dichos conjuntos.

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Para entender más fácilmente qué es un sistema dinámico recurro a las páginas del libro Biología Matemática (Un enfoque desde los sistemas dinámicos) de los investigadores de la UNAM Pablo Padilla, Lourdes Esteva Peralta y Manuel Falconi Magaña, -compiladores- quienes presentan unos ejemplos sencillos para los conceptos de variable de estado, espacio fase y ley de evolución, conceptos torales para entenderlos, a saber:

<<Para caracterizar el movimiento y estudiarlo de manera matemática necesitamos saber qué se mueve, en dónde y cómo se mueve. En otras palabras, necesitamos caracterizar el tipo de sistema dinámico en el que estamos interesados. Supondremos que existe una variable, tal que si la conocemos en un instante dado, el estado del sistema está bien determinado. Por esa razón nos referiremos a ella como variable de estado. Por ejemplo, si tratamos de caracterizar el estado de un semáforo, basta decir que está en verde, rojo o en amarillo… Si estamos hablando  del movimiento de una partícula en el espacio, sabemos que basta conocer su posición y su velocidad para caracterizar su estado en un instante. Si tratamos de describir el crecimiento de una población, entonces, de manera natural, la variable de estado es el número de individuos de dicha población en el instante considerado.

Una vez que se sabe cómo caracterizar al sistema es necesario saber que valores puede tomar la variable de estado, es decir, en dónde se mueve nuestro sistema. En los ejemplos anteriores, la variable de estado del semáforo puede tomar los valores {rojo, verde, amarillo} y este conjunto es llamado el espacio fase del sistema… En el caso de la partícula, la posición está caracterizada por un punto en el espacio P, mientras que para caracterizar su velocidad, necesitamos especificar en qué dirección se mueve y con qué rapidez. Por último, para la población, el número de individuos puede ser cualquier entero no negativo: 0, 1, 2….

Dados la variable de estado y el espacio fase, el desarrollo del sistema queda determinado por una ley de evolución. De nuevo, refiriéndonos a los sistemas anteriores, el semáforo puede estar programado para permanecer 15 segundos en verde, 4 en amarillo y 15 en rojo, en ese orden…. Para la partícula, la ley de evolución está dada por las prescripciones de la mecánica clásica, es decir, la segunda ley de Newton. Finalmente, en el caso de la población, la tasa neta de crecimiento determina cómo se incrementará la población en el tiempo>> Hasta aquí la cita.

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 El caos determinista es, esencialmente, la “unión” de los sistemas dinámicos, las ecuaciones diferenciales y las leyes de la física clásica. La imposibilidad práctica de predecir la trayectoria de un sistema físico, así como la sensibilidad a las condiciones iniciales, hacen que dicha imposibilidad sea confundida con el azar. Como mencionamos líneas arriba, Poincaré fue quien sentó las bases de esta rama de las matemáticas; a partir de él, la historia muestra una verdadera constelación de científicos que han permitido un avance difícil de cuantificar: Lyapunov, Cantor, Hausdorff, Koch, Julia, Mandelbrot, Prigiogine, Kolmogorov, Lorentz, entre los más conocidos.

Del conjunto anterior quiero mencionar (injustamente para los demás) a Edward Lorenz. La razón es que él fue quien descubrió el primer atractor extraño –lo que en la jerga matemática se conoce como atractor de Lorenz– un atractor extraño es una imagen en el espacio de fases de algún sistema caótico concreto.

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En 1963, Lorenz, analizaba la razón de la imposibilidad de predecir los fenómenos meteorológicos a largo plazo; para ese fin usó un modelo matemático para hacer una simulación basándose en las ecuaciones de la hidrodinámica ad hoc; para sorpresa suya, descubrió una de las propiedades más importantes de los sistemas caóticos: su dependencia de “las condiciones iniciales”. Si comenzamos con dos puntos muy cercanos, los recorridos posteriores de cada uno serán totalmente diferentes. Este fenómeno hace imposible predecir en el tiempo el comportamiento del sistema. He aquí el popular “efecto mariposa”, que –como hay mariposas en todas partes del mundo- nos dice que un aleteo de una mariposa en el río Amazonas puede producir un tornado en –por ejemplo- Arkansas (o un aleteo de una mariposa en Ámsterdam un huracán en La Habana, dentro de un mes, dos meses, tres meses,…, no sabemos  cuándo).

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